Sobre elementos en economía

“Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.”

Esta es la enunciación del famoso quinto postulado expresado por Euclides en el Libro I de sus famosos Elementos, y que en definitiva, viene a decir que si dos rectas no se encuentran (o sea, no se cortan), es que son paralelas.

Estos días tenemos una situación que nos está mostrando que planteamientos que, puede decirse, están en rumbo de colisión, y por tanto, no son paralelos, tampoco llegan a encontrarse.

En definitiva, que estamos ante un caso de economía no euclídea defendida por… Euclides (aunque en éste se apellide Tsakalotos).

Créditos:

Enunciación del quinto postulado según la traducción de María Luisa Puertas Castaños de la obra Elementos, de Euclides, tomada de la edición publicada por Gredos como número 155 de su colección Biblioteca Clásica Gredos (correspondiente a los Libros I al IV), de la biblioteca del autor.

Transformando el mundo

El pasado viernes, día 21, se cumplieron 246 años del nacimiento de Jean Baptiste Joseph de Fourier, en tanto que hoy, según algunas versiones, se cumplen los 265 años del de Pierre Simon deLaplace.

Estos dos científicos, aquel más físico, éste más astrónomo, y ambos con importantes aportes en la matemática, han dado su nombre en este campo a una herramienta que facilita el estudio de la, digamos, realidad. Esta herramienta es la Transformada.

En el campo de la matemática, la Transformada vendría a ser como si, en la realidad, nos fijáramos en ésta no sólo desde otro punto de vista, sino más bien, fijándonos en otras cosas menos evidentes… en el primer vistazo.

Así, se podría definir unos resultados (una curva en el tiempo), como la suma de una serie de causas de importancia decreciente, parándonos en el momento que los efectos ya sean inapreciables, o despreciables (siempre, claro, según lo que nos interese).

No se trata de que veamos la sociedad en la que vivimos con los cristales de un cientifismo miope, pero sí convendría saber analizar la vorágine de la sociedad como resultado de diversas causas, y ponderar bien éstas, sin prejuicios sobre éstas y sin confundir causas con efectos, ni olvidar que siempre hay situaciones intermedias en las que los efectos acaban actuando como causas de posteriores efectos.

Y que, en todo caso, lo que en ningún momento resulta despreciable, aunque la mayoría opine lo contrario, son las personas que viven en esta vorágine.

En definitiva, se trata de aplicar la Transformada debida, es decir, la de vida.

Cifras y letras

¡Pero…! ¡Pero…! ¡Pero…! ¡Pero…!

¡Pero… ¿esto qué es?!

“Científicos de Estados Unidos han desarrollado un algoritmo que puede predecir con hasta un 84 por ciento de fiabilidad cuando un libro se puede convertir en un éxito comercial.”

La verdad, a veces me pregunto si la velocidad del avance de las capacidades de los ordenadores no irá en paralelo con (o, incluso, arrastrará a) la del desperdicio de tales recursos.

“Estos científicos han llegado a la conclusión de que una serie de factores predicen el éxito de un libro: el interés, la novedad, el estilo de escritura y cuánto enganche la historia. No obstante han admitido que también influyen factores externos a la novela, como la suerte.”

Y… Y… Y…Y…

Y… ¿dónde queda el talento?

¡Ah, es verdad! Que sólo cuantifican el ‘éxito’ (de ventas, se entiende), algo concreto y material.

Para la calidad no hay algoritmos.

Créditos:

Extractos del cuerpo de la noticia publicada en ABC.es.

2+2=4 y… ¿después, qué?

“PSICOHISTORIA – … Gaal Dornick, utilizando conceptos no matemáticos, ha definido la psicohistoria como la rama de las matemáticas que trata sobre las reacciones de conglomeraciones humanas ante determinados estímulos sociales y económicos…

(…)

La base de toda psicohistoria válida reside en el desarrollo de las funciones Seldon, (…)”

“HARI SELDON – (…) Indudablemente sus contribuciones más importantes pertenecen al campo de la psicohistoria. Seldon conoció la especialidad como poco más que un conjunto de vagos axiomas; la dejó convertida en una profunda ciencia estadística…”

Por lo que se ve, parece como si nos acercáramos al año 11998 de la Era Galáctica, y Hari Seldon estuviera cerca de nacer.

Créditos:

Extractos del relato Los psicohistoriadores, primero de Fundación, según traducción de Pilar Giralt (pp. 25-26 y 13), e imagen de conjunto de las cubiertas de la trilogía inicial de la serie Fundación, de Isaac Asimov, en edición de Bruguera, en su colección Libro Amigo (ediciones de 1979), de la biblioteca del autor.

Y ahora, ¿dónde los pongo?: Donde él coja fuerzas para el nuevo curso

Y en este otro caso, para mi hijo.

Aunque él ya tenía formado un pequeño atasco.

Créditos:

Cubiertas y sobrecubiertas de los libros en cuestión.

Un tío, un sobrino… y dos primos

“- Tío, no puedo explicar el porqué con palabras. Lo único que sé es que quiero ser matemático. Supuso que lo entenderías…

Él reflexionó por unos instantes (…)

- Mmm… –dijo–. ¿Qué te parece si hacemos un trato?

- ¿Qué clase de trato?

(…)

- Te pondré un problema que te llevarás a casa y tratarás de resolver. Según lo que ahgas con él, podré juzgar mejor si tienes madera de gran matemático. (…) Bueno, el problema será difícil –contestó–. No cualquiera puede resolverlo, pero si tienes dotes para ser un gran matemático, lo conseguirás. Naturalmente, deberás prometer que no pedirás ayuda a nadie ni consultarás libros.

- Lo prometo –dije. (…) Ponme el problema que tengo que resolver.

Primero lo escribió en un papel y luego lo leyó en voz alta.

- Quiero que intentes demostrar –dijo– que todo número par superior a 2 es la suma de dos primos.

Reflexioné por un isntante, rezando con fervor por una inspiración repentina que me permitiera vencerlo con una solución instantánea. Sin embargo, no llegó, y me limité a decir:

- ¿Eso es todo?”

Este domingo es 26, número par, y resultado de la suma de 7 y 19, por ejemplo, ambos, números primos (por no mencionar la solución fácil). Como vemos, en este caso se cumple lo enunciado por el tío Petros a su sobrino. Luego, tal vez, bien pueda ser verdad, ¿no?

“A finales de septiembre, pocos días entes de empezar mi último curso lectivo, fui otra vez a Ekali, taciturno y desmoralizado.

- ¿Y bien? –me preguntó el tío Petros en cuanto nos sentamos, después de que yo rechazara con frialdad su brebaje de cerezas ácidas–. ¿Has resuelto el problema?

- No –respondí–. La verdad es que no lo he hecho.

Lo último que deseaba en ese momento era describir mis fallidos intentos o escuchar cómo él los analizaba para mí. Es más; no tenía ninguna curiosidad por descubrir la solución, la prueba del enunciado. Lo único que quería era olvidar cualquier cosa relacionada con los números, ya fuera pares o impares… por no mencionar los primos.”

Y, en efecto, no descubrió la solución… hasta unos años después.

“El primer día de mi tercer año me informaron de que el Destino (¿quién si no puede disponer coincidencias semejantes?) había decidido que compartiera mi habitación de la residencia universitaria con Sammy Epstein, un muchacho canijo de Brooklyn, famoso entre los estudiantes del primer ciclo porque era un prodigio de las matemáticas. (…)

Convencido de que a esas alturas todas las heridas causadas por mi breve y traumática historia de matemático habían cicatrizado, me sentí encantado, incluso divertido, al descubrir la identidad de mi nuevo compañero de cuarto. En nuestra primera noche juntos, mientras cenábamos en el comedor de la universidad para conocernos mejor, le dije con naturalidad:

- Puesto que eres un genio de las matemáticas, Sammy, estoy seguro de que podrás probar con facilidad que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos.

Se echó a reír.

- Si pudiera probar eso, tío, no estaría aquí cenando contigo; ya sería catedrático, quizás incluso tendría la medalla Fields, el Nobel de las matemáticas.

Antes de que terminara de hablar, en un instante de revelación, adiviné la horrible verdad. Sammy la confirmó con sus siguientes palabras:

- La afirmación que acabas de hacer es la conjetura de Goldbach, ¡uno de los problemas irresueltos más difíciles de todos los campos de las matemáticas!”

Como ya ha quedado reflejado en estas páginas, el último teorema de Fermat se encuentra resuelto desde hace veinte años. ¿Y la conjetura de Goldbach?, (que, por cierto, su enunciado no es de él, sino de Euler), ¿qué hay de ella?

Bueno, pues de momento, si no la conjetura propiamente dicha, su hermana, la otra («todo número impar superior a 5 es la suma de tres números primos»), sí parece que ha sido resuelta.

Ahora, como en las mejores familias, sólo queda por dejar aparte al primo que molesta.

Créditos:

Imagen de la cubierta y extractos de El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis, según traducción de Mª Eugenia Ciocchini, tomados de la edición realizada en 2000 por Ediciones B en su colección Tiempos modernos, de la biblioteca del autor (pp.32-37 y 45-46).

Una fórmula matemática para pasarlo bien

Hace unos días pude 'apreciar' esta pintada.

Pocos días después, es decir, hace una semana, se conmemoraba el nacimiento de Leonhard Paul Euler, en concreto, 306 años.

Un número del que, recordando la famosa anécdota de los matemáticos Ramanujan y Hardy, podemos decir que tiene su (rebuscada) relación con Euler.

Y es que 306 es el producto de 17 y 18, que son las cifras correspondientes a los siglos transcurridos cuando nació (en el calendario cristiano, se entiende -o sea, 17); y la suma de las cifras (también en el mismo calendario) del año de nacimiento (1962) de Yoko Ogawa, autora de La fórmula preferida del profesor, la cual, naturalmente, es la Fórmula de Euler.

¡Ah, y otra cosa!

El famoso número del taxi de la anécdota (el 1729) también tiene su aplicación en esta anotación: es la suma del año de nacimiento de Euler y del día... en que se publica.

Créditos:

Fotografía de la pintada en cuestión, de abril de 2013, del autor.

Imagen del doodle de este año conmemorativo del nacimiento de Euler.

Se-ldon avisé

“HARI SELDON– … Nació el año 11988 de la Era Galáctica; falleció en 12069. Las fechas suelen expresarse en términos de la Era Fundacional en curso, como -79 del año 1 E. F. Nacido en el seno de una familia de clase media en Helicón, sector de Arturo (…), pronto demostró una sorprendente capacidad para las matemáticas. (…)

… Indudablemente sus contribuciones más importantes pertenecen al campo de la psicohistoria. Seldon conoció la especialidad como poco más que un conjunto de vagpos axiomas; la dejó convertida en una profunda ciencia estadística.”

“PSICOHISTORIA– … Gaal Dornick, utilizando conceptos no matemáticos, ha definido la psicohistoria como la rama de las matemáticas que trata sobre las reacciones de conglomeraciones humanas ante determinados estímulos sociales y económicos…

Implícita en todas estas definiciones está la suposición de que número de humanos es suficientemente grande para un tratamiento estadístico válido.”

Lo anterior es parte de dos de los lemas recogidos en la famosa Enciclopedia Galáctica, en la que figura todo lo que es importante,… y más allá:

“Todas las referencias a la Enciclopedia Galáctica aquí reproducidas proceden de la 116ª edición publicada en 1020 por la compañía editora de la Enciclopedia Galáctica, Términus, con autorización de los editores.”

El caso es que he recordado esta rama de las matemáticas, la psicohistoria, cuando he tenido conocimiento, no de que ya esté implantada, muchos años antes de Seldon, sino de que sí los hay que están en ello.

No obstante, hay que recordar que para que los estudios psicohistóricos sean válidos, además del número de personas implicadas, “otra suposición necesaria es que el conjunto humano debe desconocer el análisis psicohistórico a fin de que su reacción sea verdaderamente casual…”

Aunque tal vez esto sea lo más sencillo, porque en ocasiones, es mejor no saber de las cosas.

Créditos:

Extractos de Fundación, obra de Isaac Asimov, según traducción de Pilar Giralt, tomados de la 4ª edición, de noviembre de 1979, realizada por Editorial Bruguera como número 385 de su colección Libro Amigo (pp.13 y 25).

La base es que todos somos distintos

“En algunos aspectos, la noche de Halloween se puede considerar exactamente igual a la Navidad.”

Este pasado agosto publiqué una anotación acerca de la inspiración en un escritor, tomando como referencia el primer relato incluido en el volumen Cuentos de los Viudos Negros, de Isaac Asimov.

Dicha anotación supuso un comentario firmado por Unknown, quien sólo sabía de dos de los tres volúmenes publicados. Tiempo después era yo quien me enteraba de que el comentarista no me era desconocido, sino un compañero de trabajo, a quien presté el tercer libro, con el resultado, antes de que nadie diga nada, de que me ha sido devuelto esta mañana.

No sólo eso, sino que me ha comentado que uno de los relatos (tengo que decir que de los tres volúmenes, el único que ha permanecido en mi memoria es el titulado La cruz de Lorena, precisamente el primero del tercer volumen), hace referencia a Halloween, por lo que toca hablar algo de él (del relato, claro).

La frase del inicio de la anotación fue explicada por quien la oyó como que su autor era un hombre de familia. Durante la reunión de los Viudos Negros, el análisis de la misma concluyó que su autor, en realidad, era un matemático.

No desarrollaré aquí el análisis matemático expuesto en el relato, y sólo comentaré que la base del mismo es numérica, y con ello no me estoy refiriendo a las cifras de las fechas de ambas festividades.

Sí puedo decir que hay otra relación (siguiendo el mismo análisis) que aprecié al finalizar el relato, aunque en él no figura.

También puedo decir, ya que se expone  en el relato antes del análisis en cuestión, que el autor de la frase no era hombre de familia, sino culpable de fraude fiscal.

La conclusión última tal vez sea que no es bueno ver sólo los significantes (fijarse en los números), sino los significados (las festividades, y con ellas, las personas).

Por cierto, curiosamente, el relato en cuestión comienza con una discusión sobre la intuición en el trabajo de los artistas del grupo (un pintor y un escritor), describiéndola como un ‘razonamiento no detectado’. O sea, la inspiración objeto de mi anotación inicial.

Créditos:

Extracto del relato Un hombre de familia, de Isaac Asimov, según traducción de Jorge A. Sánchez, incluido en el volumen El archivo de los Viudos Negros, publicado en 1990 por Alianza Editorial como número 1.493 de su colección El libro de bolsillo (pág. 49).

Un grupo de primos

El conjunto de los números enteros junto con la operación ‘suma’, constituye lo que se denomina en matemáticas grupo.

Una cosa curiosa que enseña la matemática es que no por formar parte de un conjunto, se tiene las propiedades de ese conjunto. Por ejemplo, los números primos.

Aunque los números primos son por definición números enteros, el conjunto de los números primos, junto con la ‘suma’, no constituye un grupo, entre otras cosas, porque no cumple el primero de los requisitos o axiomas de un grupo.

En efecto, si tenemos dos números primos, m y n (que por comodidad, supondremos mayores de 2, lo que nos deja todavía infinitos números primos para considerar), y los sumamos, el resultado NO es número primo. Veamos:

Si m y n son números primos mayores de 2, se pueden expresar de la forma 2p+1 y 2q+1, respectivamente para m y n, en donde p y q son a su vez números enteros positivos, es decir, números naturales.

Si los sumanos, tenemos:

m + n = (2p+1) + (2q+1) = 2p + 2q +2 = 2 (p + q + 1)

Resultado que como puede apreciarse, es par, y por tanto, ya que p y q son números naturales  (mayores o iguales a 1), es mayor que 2; y como se sabe, el único número primo par es el 2.

La conclusión que se obtiene de esto es que la unión de dos primos no supone un resultado primo, y a su vez, las probabilidades de que el resultado de la unión de un número importante de primos, sea primo, son muy pequeñas.

Ergo, dado que en la actualidad se está demostrando que en España, la unión de muchos primos, está dando un resultado que es a su vez bastante primo, se llega a la conclusión de que España, dejando de ser natural, también está dejando de ser entera, aunque curiosamente no prima, aumentando el riesgo de que en vez de grupo, presente una estructura más bien de banda.

Quod erat demostrandum.

De paralelas atravesadas

Buscar… en el margen

Hoy Google nos ha recordado un aniversario, el del nacimiento de Pierre de Fermat. Y lo ha hecho con un doodle cuya imagen es el conocido como Último Teorema de Fermat, y una referencia a su famosísima e intrigante ‘nota al margen’: “He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa para este teorema pero este doodle es demasiado pequeño para contenerla”.

El teorema en cuestión viene a decir que la expresión también conocida del Teorema de Pitágoras (y que ahorro de exponer), es la única que admite bases de potencia enteras (el equivalente a los lados del triángulo rectángulo), no existiendo para potencias superiores al cuadrado.

Sobre la demostración, finalmente conseguida, ya comenté aquí hace justo dos años, además de intentos (realmente erróneos) en anotaciones anteriores.

Resuelto el misterio (de que el teorema es cierto), nos queda el otro misterio: ¿cuál fue la “demostración verdaderamente maravillosa” que encontró Fermat?

Y es que, con independencia de la exactitud matemática, algo de cuya existencia sólo sabemos que es verdaderamente maravillosa, uniendo la maravilla con la verdad, ¡qué poco se nos prodiga!

(Ni siquiera en España, pues aunque estemos hasta la n-ésima potencia de…, ya tampoco estamos, lo que se dice, enteros -y margen, margen, tampoco nos queda mucho)

Créditos:
Imagen del doodle del día de hoy, en recuerdo de 410º aniversario del nacimiento de Pierre de Fermat.

La ciencia: esa gran… conocida

No deja de resultar curioso que ciertos momentos de avance de la ciencia lleven su componente de paradoja.

Hoy Google nos ha recordado a través de su imagen que se celebraba el aniversario del descubrimiento de los Rayos X. Efectivamente, tal día como hoy se descubrió ese tipo de radiación, pero nada más: sus características eran desconocidas, y por eso la denominación característica de lo ignoto, la ‘X’ de las incógnitas matemáticas. En resumen, se descubrió… algo desconocido.

El tiempo ha pasado y el desarrollo científico ha permitido avanzar no sólo en el conocimiento, sino en la mejor resolución de los problemas. Cabe destacar en este aspecto el ejemplo que circula en la red queriendo ilustrar, gran error, precisamente lo contrario.

Pero el súmmum es resolver los problemas, y calcular las incógnitas… leyendo el periódico.

Y así, finalmente, se nos ha revelado la X.

Créditos:
Imagen de Google del día de hoy, 8 de noviembre de 2010.
Imagen de un problema de matemáticas, tomada de internet.
Fotografía de Felipe González tomada de Libertad Digital.

La aritmética, ¿en crisis?

A principios del pasado año 2008, coincidiendo con uno de esos lanzamientos editoriales en kioscos tan conocidos por todos (sobre todo por los quiosqueros), compré la primera entrega de algo así como “Los libros de la escuela”. Dicha entrega constaba de dos reproducciones facsimilares de libros de texto de cuando había maestros y no profesores (mejorando lo presente, ¿eh?)

Uno de los libros era Aritmética. Primer grado, publicado en 1949 por la Editorial Luis Vives, de Zaragoza, “casa consagrada a la mayor dignificación del libro escolar”, según se puede leer en las guardas.

Sin entrar en el método pedagógico, el interés del libro reside, entre otras cosas, en que da una visión de la España de entonces, a través de los ejemplos y problemas que plantea.

Por ejemplo, la jornada laboral. En el problema 2116 se tiene: “Un obrero gana 147 ptas. semanales. ¿Cuánto gana cada día? ¿Cuánto cada año? (Cuéntese la semana de 6 días, y el año de 300 días de trabajo)” [Sin ser de 1949, yo sí he conocido el calendario escolar con clase los sábados por la mañana. Y hasta aquí puedo escribir…]

Hay otro problema más actual, el 898: “Un sombrerero compró 37 sombreros a 42 ptas. uno. Por cierre del negocio los vende perdiendo 6 ptas. en cada uno. ¿Cuánto le costaron? ¿Por cuánto los vendió? ¿Cuánto ha perdido?”

Y otro ya imposible, el 503: “Este año he ganado 30.000 ptas. Mis gastos han sido: 14.229 pesetas de comida, 1.654 de vestido, 1.272 de carbón, 1.584 de alquiler, 776 de diversiones y viajes, y 5.565 de gastos varios. ¿Cuánto he gastado? ¿Cuánto he ahorrado?”. Por favor, ¡¿cuánto ha ahorrado?! ¿Eso qué es?

Una cosa curiosa del libro es que en la penúltima lección nos explica qué es eso de las pesetas: “La peseta es la principal unidad monetaria” y “La peseta es una moneda de plata que pesa 5 gramos y vale 100 céntimos”. Y es que había monedas de oro, plata, níquel, cobre y aluminio, sólo que “las de oro, plata y cobre han sido recogidas por el Estado, que las guarda en el Banco de España”.

También había billetes de Banco, los cuáles “circulan con el mismo valor que las monedas”.

La lección finaliza con dos frases, una feliz, “Las monedas tienen valor propio y, por ello, pueden servir para muchos usos de la vida”, y la última rotunda y contundente: “En cambio, los billetes de Banco no tienen por sí mismos ningún valor”.

Menos mal que ya no están las pesetas, sino el euro, sobre el que hace tiempo hubo una exposición en el Banco de España en Madrid, que reseñé en estas páginas.

Sin embargo,… sin embargo uno se queda con la duda.

Y es que durante la primavera pasada, con motivo de unas obras que se estaban haciendo por el centro de Valencia, un compañero de trabajo me trajo como detalle algo que había encontrado fácilmente en la calle. Al principio, cuesta un poco identificar de qué se trata, pero cuando se sabe cerca de dónde se encontró, todas las dudas quedan trituradas.



Igual que los billetes de Banco.

Lo que me trae a la memoria un problema matemático, que oí hace no mucho en no recuerdo qué programa de ((esRadio, que este pasado lunes me llegó por correo electrónico de otro compañero de trabajo, y cuya versión transcribo a continuación:

«Van tres amigos a cenar a un restaurante. Después de la cena, al pedir la cuenta, es donde viene el 'sarao':
Amigos: "Camarero... nos trae la cuenta, por favor".
Camarero: "Son 30 euros, caballeros".

Y cada uno de ellos pone 10 euros. Cuando el camarero va con el dinero a la caja, lo ve el jefe y le dice:
Jefe: "No, esos son amigos míos. Cóbrales sólo 25 euros".

El camarero se da cuenta que si devuelve los 5 euros puede haber un lío para repartirlos y decide lo siguiente:
Camarero: Ya está. Me quedaré 2 euros y les devuelvo 3, uno para cada uno.

Y así lo hace: les devuelve a cada uno 1 euro.

¡¡ Y ahora es cuando viene el follón ¡!.

Si cada uno puso 10 euros y les devuelven 1 euro, realmente puso cada uno de ellos 9 euros.
Hasta aquí de acuerdo, ¿no?
Pues bien: 9 x 3 = 27 euros.
Si añadimos los dos que se queda el camarero: 27 + 2 = 29 euros

Entonces ¿¿¿DÓNDE @#$%& ESTÁ EL OTRO EURO???.......»

Y ahora, que he conseguido que esta anotación sea más extensa que la propuesta del gobierno de Expaña para “la recuperación del crecimiento económico y la creación de empleo”, puedo dar la solución al problema:

El euro de la gente se lo queda Zapatero, o sea, el Estado.

¡Y ni aun así les salen las cuentas!

El final del final del último

Coincidiendo con el aniversario, comenté cómo había quedado resuelto el último Teorema de Fermat. Incluso The New York Times se hizo eco del acontecimiento al día siguiente, aunque… aunque también recogió la prudencia de los expertos: “Experts cautioned that Dr. Wiles could, of course, have made some subtle misstep. Dr. Harold M. Edwards, a mathematician at the Courant Institute of Mathematical Sciences in New York, said that until the proof was published in a mathematical journal, which could take a year, and until it is checked many times, there is always a chance it is wrong.”. Pero… pero también decía: “But even he said that Dr. Wiles's proof sounded like the real thing and "has to be taken very seriously."”

Efectivamente, como dice Amir D. Aczel en su libro ya aquí conocido, El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático, “había llegado el momento de que los colegas revisaran su trabajo. (…) El escrito de doscientas páginas de Wiles se envió a destacados especialistas en teoría de números. (…) Uno de los expertos elegidos (…) era su amigo de Princeton Nick Katz, quien dedicó dos meses enteros, julio y agosto de 1993, exclusivamente a estudiar la prueba completa. Cada día se sentaba a su escritorio y leía con cuidado cada renglón, cada símbolo matemático, cada consecuencia lógica, para asegurarse de que todo tenía perfecto sentido y de que sería aceptable por cualquier matemático que la leyera. Una o dos veces al día Katz enviaba un mensaje de correo electrónico a Andrew Wiles, (...) en el que le preguntaba: «¿Qué quieres decir con (…)?» o «No entiendo por qué (…)», etc. Wiles le contestaba por correo electrónico y, si el problema requería más detalles, enviaba su respuesta por fax.”

Y llegó el momento fatídico: “Un día, cuando Katz había leído unas dos terceras partes del extenso manuscrito de Wiles, se topó con un problema. En un principio parecía bastante inocente”, pero la réplica de Katz a la contestación de Wiles no lo era: “«Sigo sin entenderlo, Andrew»”. Y sí, la verdad se hizo patente, tanto para Katz como para muchos matemáticos sensiblemente a la vez: había un error.

“Sencillamente no había ningún Sistema de Euler en la demostración”. Y sin él, no se sostenía el conjunto de implicaciones, deducciones y consecuencias, la principal de ellas: “Sin esta demostración tampoco se establecía la del último teorema de Fermat. En resumen, el agujero en el sistema de Euler hizo que todo se derrumbase como un castillo de naipes.”

Un año más tarde, el 19 de septiembre de 1994, Andrew Wiles se sentó a la mesa de su despacho con la decisión de tirar la toalla, aunque antes quiso saber por qué había fallado. “Concentró toda su atención durante unos veinte minutos. Entonces descubrió exactamente por qué no había sido capaz de lograr que el sistema funcionase. Por fin entendió qué era lo que iba mal.” Y entonces, las matemáticas se hicieron humanas:
“En ese momento los ojos se le llenaron de lágrimas y Wiles, emocionado, se quedó sin respiración. Lo que había descubierto en ese decisivo instante era «tan indescriptiblemente hermoso, tan sencillo y elegante… que me quedé boquiabierto, incapaz de creerlo»”. “Debía de estar soñando, pensó”. “El descubrimiento era tan potente, tan bello que tenía que ser cierto”. “Wiles dio varias vueltas al departamento durante unas horas. No sabía si estaba despierto o soñaba. De vez en cuando regresaba a su escritorio para cerciorarse de que su fantástico descubrimiento seguía allí. Y allí seguía. Se marchó a casa. Tenía que consultarlo con la almohada”.

Finalmente, “el número de la revista de mayo de 1995 contenía el original del artículo de Wiles de Cambridge y la corrección por Taylor y Wiles. Por fin el último teorema de Fermat conocería la paz.”

Conseguido el éxito matemático, queda el espíritu romántico, y rebelde: ¿Tuvo efectivamente Fermat una demostración de su teorema? Es obvio que doscientas páginas no caben en un margen, pero la demostración de Wiles, como dijo éste, era “una demostración del siglo XX”, no del XVII. ¿O sí? “He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa”, escribió en el margen. Wiles encontró la demostración, ¿y la maravilla? ¿Se la guardó para siempre Fermat?

En cualquier caso, la maravilla de las matemáticas sí la encontró, como sabemos, una asistenta japonesa:

“El periódico del 24 de junio de 1993 publicó un artículo que decía que el Último Teorema de Fermat había sido demostrado por Andrew Wiles, nacido en Gran Bretaña, catedrático de la Universidad de Princeton. En portada, la foto de Wiles, vestido con un jersey informal y un pelo rizado con entradas y un grabado representando a Pierre de Fermat, vestido con una indumentaria propia del siglo XVII. Ambas figuras, tan dispares hasta parecer cómicas, daban fe del largo tiempo transcurrido para resolver este último teorema. El artículo alababa la proeza diciendo que el hecho de que el enigma clásico de las matemáticas hubiera sido por fin resuelto significaba la victoria de la inteligencia humana y un nuevo paso adelante en la historia de las matemáticas. También mencionaba, aunque incidentalmente, que el núcleo de la demostración de Wiles procedía del teorema de Taniyama-Shimura, establecido por dos matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama y Goro Shimura.
Después de leer el artículo, saqué el recorte que llevaba en la cartera del pase de transportes públicos, como solía hacer cuando recordaba al profesor. Era la fórmula de Euler que él había anotado a mano.

Siempre estará allí. Sin cambiar sus trazos, elogio de la tranquilidad, en un lugar en que puedo tocarla con sólo largar la mano.” (pp. 279-280)

Este 17 de agosto se cumplen 408 años del nacimiento de Pierre de Fermat. Cifra que entre sus divisores cuenta con el 17 y el 8: ¿casualidad? ¿coincidencia? ¿matemáticas? ¿causalidad, incluso?

Cuando dando cero, se da todo

A mediados de enero compré La fórmula preferida del profesor, alentado por una reseña que Urku de Azumendi había hecho en su blog El olor de los libros. Hace un tiempo anuncié que la iba a leer, y finalmente, esta semana me he puesto a ello y anteanoche terminé de leer esta novela escrita en 2003 por Yoko Ogawa, japonesa nacida en 1962 en Okayama, según traducción de Yoshiko Sugiyama y Héctor Jiménez Ferrer, publicada por Editorial Funambulista en su colección Literadura.

«Como en broma, que así se dicen las cosas muy serias, los matemáticos suelen hablar de El Libro, en el que Dios tiene escritos los teoremas más relevantes, con puebas perfectas, y del cual los humanos, en los momentos más inspirados, pueden atisbar, escribiendo con sus descubrimientos, modestas aproximaciones al texto ideal que expresa el lenguaje en que se cifra la realidad. En Él no hay sitio para la fealdad.
Tampoco lo hay en este relato de Yoko Ogawa, tersa narración de la sólo en apariencia inverosímil epifanía, en la que la modesta asistenta y su hijo Root, de cabeza plana, son agitados por el desvalido Profesor, Quirón, inmovilizado, que con sus flechas señala y a ratos consigue que “la luz atraviese el cielo, sin que lo impida la lluvia ni la oscuridad”.»

De esta manera, León González Sotos, profesor de la Universidad de Alcalá comienza su postfacio a la novela, al que titula Platón y Ramanujan en la cabaña de un ocioso.

Tres son los personajes principales (prácticamente los únicos) de la novela: una madre soltera que trabaja como asistenta; un profesor de matemáticas, ya anciano, y que por un accidente, su memoria inmediata sólo cubre los últimos 80 minutos; y un niño de diez años, hijo de la asistenta.

De todos, desconocemos sus nombres: ella es la narradora, o sea que no lo necesita; el profesor es ‘el profesor’ (“Mi hijo y yo le llamábamos profesor” es la frase con que se inicia la novela); y nos referiremos al niño por el apodo que le puso el profesor al conocerlo: “Tú eres «Root». La raíz cuadrada, es un signo realmente generoso que puede dar refugio dentro de sí a cualquier número sin decir nunca que no a ninguno.” (pág. 50)

Curiosamente, lo único que conocemos por su nombre (aparte de un jugador de béisbol), son fórmulas y teoremas matemáticos.

“Y mientras lo decía, [el profesor] sacó un papel de apuntes del bolsillo, garabateó algo en él, lo puso en el centro de la mesa y se marchó de la habitación Fue un gesto resuelto, como preparado con antelación. No había en él ni ira ni confusión, sólo un silencio envolvente.
Nosotros tres, callados y abandonados por el profesor, clavamos los ojos en el papel de apuntes. Permanecimos así durante un rato, sin movernos. Allí había escrita, en sólo una línea, una fórmula.
Nadie decía nada. La viuda había dejado de hacer ruido con las uñas. Entendí que poco a poco iban desapareciendo de sus pupilas la turbación, la frialdad y la duda. Pensé que tenía la mirada de alguien que entiende perfectamente la belleza de una fórmula matemática.” (pp.195-196)

“No se me escapó aquella línea, que apareció en un rincón de mi campo de visión mientras pasaba páginas sin rumbo fijo. Miré la nota y el libro para compararlos cuidadosamente. No cabía duda. Se llamaba fórmula de Euler.” (pág. 204)

En la contraportada se dice, destacado en negrita: “Una novela optimista que genera fe en el alma humana, contada con la belleza sencilla y verdadera de un «larguísimo» haikú”

“Volví a mirar la nota del profesor. Unos números que circularían periódicamente hasta el final y otros números extraviados que nunca mostrarían su verdadera naturaleza, aterrizaban en un punto tras haber dado una voltereta. No aparecía ningún círculo en ningún lugar, y sin embargo π caía volando desde el cielo, inesperado, a los pies de «e», y estrechaba la mano del tímido «i». Se apretujaban unos con otros y contenían la respiración, pero bastaba con que un hombre añadiera sólo un 1 para elque el mundo cambiase totalmente, sin previo aviso. El 0 era la madre del cordero.
La fórmula de Euler era como una estrella fugaz centelleando en la oscuridad. Era un verso grabado en una cueva tenebrosa. Impresionada por toda la belleza que contenía la fórmula, la guardé en la funda del pase del transporte.
(…)
Desde entonces, (…) sigo llevando conmigo la nota del profesor, y no la he tirado. La fórmula de Euler ha sido siempre para mí un apoyo, una sentencia, un tesoro y un recuerdo al mismo tiempo” (pp. 207-209)

“Después de leer el artículo, saqué el recorte que llevaba en la cartera del pase de transportes públicos, como solía hacer cuando recordaba al profesor. Era la fórmula de Euler que él había anotado a mano.
Siempre estará allí. Sin cambiar sus trazos, elogio de la tranquilidad, en un lugar en que puedo tocarla con sólo largar la mano.” (pág. 280)

La frase de la reseña no sólo es cierta, sino que, como vemos (y aunque la fórmula la escribiera el profesor sobre un papel y no un niño sobre una pizarra), la frase, digo, es matemáticamente cierta.

El principio del final del último

Tal y como habíamos insinuado en su día, estamos hablando de Fermat.

El caso es que en este día se cumplen 16 años de la famosa demostración del último teorema de Fermat, según se nos ha dejado ver en el libro Los crímenes de Oxford, como hemos transcrito en la anterior anotación.

Ya sabemos lo que dice el teorema, aunque en latín queda mejor:
“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitud ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere: cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet”

lo que vendría a significar algo así como
“es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración verdaderamente maravillosa pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”

Hacia 1637, Pierre de Fermat, jurista francés, magistrado de la corte suprema de justicia de Toulouse, hizo esta anotación (en latín) en el margen de una hoja del libro Arithmetica de Diofanto de Alejandría, junto a la enunciación de un problema sobre la división de un cuadrado en otros dos cuadrados.



Desde entonces, 356 años sin dicha demostración general. Sí es cierto que el mismo Fermat dio una demostración específica para el caso de los bicuadrados, pero hasta 1770 Euler no lo hizo para los cubos.

El verano de 1993 se inició en Cambridge con una conferencia de unas tres horas de Andrew Wiles, quien, con sus ochos años de aislamiento “apartado del mundanal ruido”, parecía haber seguido “la escondida/ senda por donde han ido/ los pocos sabios que en el mundo han sido”. El segundo día del verano, hubo una nueva conferencia, de duración similar, pero con bastante mayor audiencia. El tercer día, “el gran miércoles”, nueva conferencia, “lleno hasta la bandera”, es decir, el aula, los pasillos, el edificio tal vez, y una duración que cabría resumir en tres palabras:



quod erat demostrandum



Como dice Amir D. Aczel en su obra El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático, “Andrew Wiles describió su demostración como ‘una demostración del siglo XX’. En efecto, Wiles se sirvió del trabajo de muchos matemáticos del siblo XX. También aprovechó los avances que habían realizado matemáticos anteriores. (…) Así pues, la demostración del último teorema de Fermat supuso en realidad el éxito de un buen número de matemáticos del siglo XX… y de quienes los precedieron desde la época de Fermat mismo.”

Sin embargo, esto no se refiere a lo sucedido al inicio del verano de 1993, sino casi al final del verano… de 1994.

[las ilustraciones están tomadas de Fermat. El mago de los números de Blas Torrecillas Jover, editado por Nivola, y de El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático de Amir D. Aczel, editado por el Fondo de Cultura Económica]

Y llegó el 23

“CAPÍTULO 23
El miércoles 23 de junio me desperté cerca del mediodía. (…)Busqué en las páginas interiores alguna noticia sobre el semanario de Cambridge. Había apenas un suelto muy cauteloso, bajo el título «El Moby Dick de los matemáticos», en el que se enumeraba la larga cronología de fracasos en los intentos por demostrar el teorema de Fermat. El diario mencionaba al final que se estaban haciendo apuestas en Oxbridge sobre los que ocurriría esa tarde en la última de las tres conferencias y que estaban por el momento seis a uno, todavía en contra de Wiles.
(…)
Cuando salimos de las canchas vi en el reloj del club que eran casi las tres (…) Entré en la sala de computadoras, que estaba también vacía, y abrí mi cuenta de e-mail. Allí estaba el breve mensaje que se propagaba como una contraseña a todos los matemáticos a lo largo y ancho del mundo: ¡Wiles lo había conseguido! No había detalles sobre la exposición final; sólo se decía que la demostración había logrado convencer a los especialistas y que una vez escrita podría llegar a las doscientas páginas” (pp. 184-185)

… incluso hay margen para suposiciones

“Usted sabe, por supuesto, que el teorema de Fermat no es más que una generalización del problema de las ternas pitagóricas, el secreto mejor guardado de la secta” (pág. 143)

“– ¿Qué pasa en Cambridge mañana? – Lorna había regresado y traía otras tres cervezas, que distribuyó sobre la mesa.
– Me temo que tiene que ver con uno de los libros que le presté yo mismo al inspector Petersen. Un libro con una versión bastante fantástica sobre la historia del teorema de Fermat. Es el problema abierto más antiguo de la matemática – le dijo a Lorna –: hace más de trescientos años que los matemáticos luchan contra él y posiblemnte mañana en Cambridge logren por primera vez demostrarlo. En el libro se rastrea el origen de la conjetura a las ternas pitagóricas, uno de los secretos de la primera época de la secta, antes del incendio, cuando todavía, como dijo Lavand, no se había separado la magia de la matemática. Los pitagóricos consideraban a las propiedades y relaciones numéricas como la cifra secreta de una divinidad, que no debía divulgarse fuera de la secta. Podían difundirse los enunciados de los teoremas, para el uso en la vida diaria, pero jamás su demostración, de la misma manera que los magos se juramentan para no revelar sus trucos. El castigo para quien infringía la regla era la muerte. El libro sostiene que el propio Fermat pertenecía a una logia más moderna, pero no menos estricta, de pitagóricos. Había anunciado en la famosa anotación en el margen de la Aritmética de Diofantes que tenía una demostración de su conjetura, pero después de su muerte ni ésa ni ninguna otra de sus demostraciones pudo ser encontrada entre sus papeles. Aunque lo que supongo que alarmó a Petersen son algunas muertes curiosas que rodean la historia del teorema. (…).
– Entonces, en ese caso los crímenes serían…
– Una advertencia – dijo Seldon –. Una advertencia al mundo de los matemáticos. La conspiración que imagina el libro, ya se lo dije a Petersen, me parece a mí una suma ingeniosa de disparates. Pero hay algo que de todos modos me preocupa: Andrew Wiles trabajó en absoluto secreto durante los últimos siete años. (…) Si algo llegara a ocurrirle a Andrew – dijo, y su cara volvió a ensombrecerse–, nunca me lo perdonaría” (pp. 182-183)

Lo que da de sí un margen escaso

Hojeando diversos libros para decidir cuál es el siguiente en el turno de lectura, me encuentro, omisión hecha del error que contiene y que es fácilmente subsanable por el resto del texto, lo siguiente:

“De repente me topé con un libro sobre el último teorema de Fermat. Se trataba de un relato más bien histórico, que no de pura teoría matemática, lo cual facilitaba para mí su comprensión. Sabía que el último teorema de Fermat era un problema difícil que aún no había sido resuelto; sin embargo, fue una sorpresa para mí que el contenido del teorema pudiera expresarse tan fácilmente.
«Para todos los números naturales n superiores a 3 no existen números naturales X, Y, Z que verifiquen la ecuación: Xⁿ+ Yⁿ= Zⁿ»
¿Eh, eso es todo?, estuve a punto de exclamar. Me daba la sensación de que encontraría cuantos números naturales quisiera capaces de cumplir con aquella fórmula. Mientras que si «n» era igual a 2, y se convertía en la maravilla que es el teorema de Pitágoras, ¿cómo se entendía que con sólo ser una unidad mayor, pudiera destruirse el orden? Según pude saber, hojeando de pie el libro, aquella proposición no había nacido de una tesis notoria sino que procedía de un apunte apresurado de Fermat. Al parecer omitió la demostración por falta de espacio suficiente en la página. A partir de entonces, muchos genios de las matemáticas intentaron dar con aquella demostración, la gran meta del mundo matemático, pero fracasaron. Me dio pena por ellos que el capricho de un hombre les hubiera estado atormentando a lo largo de tres siglos.” (pp. 202-203)

Naturalmente, terminé la búsqueda y quedó resuelta la cuestión (la mía, digo).