Una fórmula matemática para pasarlo bien

Hace unos días pude 'apreciar' esta pintada.

Pocos días después, es decir, hace una semana, se conmemoraba el nacimiento de Leonhard Paul Euler, en concreto, 306 años.

Un número del que, recordando la famosa anécdota de los matemáticos Ramanujan y Hardy, podemos decir que tiene su (rebuscada) relación con Euler.

Y es que 306 es el producto de 17 y 18, que son las cifras correspondientes a los siglos transcurridos cuando nació (en el calendario cristiano, se entiende -o sea, 17); y la suma de las cifras (también en el mismo calendario) del año de nacimiento (1962) de Yoko Ogawa, autora de La fórmula preferida del profesor, la cual, naturalmente, es la Fórmula de Euler.

¡Ah, y otra cosa!

El famoso número del taxi de la anécdota (el 1729) también tiene su aplicación en esta anotación: es la suma del año de nacimiento de Euler y del día... en que se publica.

Créditos:

Fotografía de la pintada en cuestión, de abril de 2013, del autor.

Imagen del doodle de este año conmemorativo del nacimiento de Euler.

¡Ya ha llegado el día!

“– Dicen que mañana va a hacer aún más calor.
– El verano pasa mientras decimos «¡qué calor!», «¡qué calor!»…”

Según nos ha recordado Google, hoy es el día en que se inicia el verano en el hemisferio boreal. Y según el Zaragozano, entra justo ahora.

Podemos refrescarnos con estas imágenes de los chicos de la playa, por ejemplo:


Beach Boys - Wouldn't It Be Nice (1966) por Salut-les-copains

o, por ejemplo, la réplica inapelable del profesor nos puede recordar otra cosa:

¡Ya vamos de cara al invierno! ¡Por fin!

Créditos:
Cita tomada de La fórmula preferida del profesor, de Yoko Ogawa, según traducción de Yoshiko Sugiyama y Héctor Jiménez Ferrer, publicada por Editorial Funambulista en su colección Literadura (pág. 223)

Cromos o libros: ¿cambiamos o nos mantenemos como entonces?

A principios de julio pasado, hice una pequeña reseña sobre la novela que acababa de leer (La fórmula preferida del profesor). Unas semanas después, como siempre, buscando otra información, me encontré en la página de internet de Nature una reseña a dicha novela, titulada en inglés The Housekeeper and the Professor, es decir, La asistenta y el profesor. Aunque ambos títulos son ciertos (ignoro la traducción exsacta del japonés), también es cierto que con el título en inglés difícilmente la hubiera comprado de haberla visto en la clásica mesa de novedades (en cualquier caso, la compré por una reseña que había leído, lo que hubiera hecho en cualquier caso con independencia del título; en resumen, la hubiera comprado, sí o sí).

En esta reseña de Nature se decía: “The Housekeeper and the Professor does for number theory what Jostein Gaarder's best-seller Sophie's World (Aschehoug, 1991) did for the history of philosophy, but with a far lighter touch”. Para leer el resto de la crítica hay que suscribirse a Nature, cosa que yo no he hecho, pero dejo total libertad para hacerlo a quien estas líneas lea (si luego nos lo cuenta, también se lo agradeceremos); crítica sobre la cual, por cierto, se publicó en septiembre una carta señalando que incurría en ciertos errores (pero también hay que suscribirse, y también se lo agradeceremos a quien nos lo cuente).

En la reseña que yo hice (ésta sí es gratis), una de las cosas que decía era: «Curiosamente, lo único que conocemos por su nombre (aparte de un jugador de béisbol), son fórmulas y teoremas matemáticos.»

Y una de las cosas que se cuenta en relación con el jugador de béisbol en cuestión, es:
“Aunque habíamos decidido regalarle un cromo de Enatsu, llegado el momento, nos dimos cuenta de que no era tan fácil como pensábamos. El profesor tenía casi todos los cromos de Enatsu de la época de los Tigers, es decir, anteriores a 1975. (…)
Primero, Root y yo compramos las revistas especializadas en cromos de béisbol (fue un descubrimiento el hecho de que se vendieran esas cosas en las librerías), y estudiamos qué tipo de cromos había, cuánto valían aproximadamente, y a dónde debíamos ir para conseguirlos. De paso, aprendimos mucho acerca de la historia de los cromos de béisbol, acerca de los coleccionistas o las condiciones de conservación, etc. Los fines de semana recorríamos todas las tiendas posibles con ayuda de la lista de tiendas de cromos que venía al final de una revista. A pesar de todo, no obtuvimos ningún fruto.
Las tiendas de cromos siempre se situaban en algún piso de edificios comerciales viejos, ocupados por usureros, agencias de detectives privados o consultas de videntes. Todos esos edificios nos deprimían con sólo subir al acensor, y sin embargo, una vez entrábamos en las tiendas de cromos, eran verdaderos paraísos para Root.” (pp. 256-257)

Tiendas no sé, pero mercadillos donde sí se realiza este tipo de comercio son habituales. En Madrid, por ejemplo, supongo que seguirá en el Rastro, al final de la Ribera de Curtidores, en la Ronda de Toledo, por donde me paseé un domingo temprano (aún estaban montando muchos de los puestos), de hace unos treinta meses.

En Valencia, este mercadillo se celebra también los domingos por la mañana, cerca de la Plaza Redonda, al otro lado de la calle San Vicente, en un ensanche que le han dado por llamar plaza, con un nombre que apenas conoce la gente, aunque sí al homenajeado: Mariano Benlliure.

Todo esto viene a cuento porque me trajo recuerdos de mi infancia, en Requena, época en que, al menos allí, no existía un mercadillo como tal para los cromos, quedando como alternativa la economía de trueque. Eso sí, el trueque no era uno por uno, sino que existían unos “precios”, de modo que según los cromos resultaran más escasos o de difícil consecución, mayor era el número de cromos por el que se canjeaban.

Y esto último me conduce a que uno de los regalos que me dejaron los Reyes Magos, consecuencia de una confusión entre listas de ‘ya sí’ y de ‘todavía no’, fue precisamente este libro de Yoko Ogawa.

Como el proveedor de los Reyes era mi mismo proveedor de libros, la coincidencia, naturalmente, se resolvió con un cambio, como hace muchos, muchos años, hacía con los cromos.

El final del final del último

Coincidiendo con el aniversario, comenté cómo había quedado resuelto el último Teorema de Fermat. Incluso The New York Times se hizo eco del acontecimiento al día siguiente, aunque… aunque también recogió la prudencia de los expertos: “Experts cautioned that Dr. Wiles could, of course, have made some subtle misstep. Dr. Harold M. Edwards, a mathematician at the Courant Institute of Mathematical Sciences in New York, said that until the proof was published in a mathematical journal, which could take a year, and until it is checked many times, there is always a chance it is wrong.”. Pero… pero también decía: “But even he said that Dr. Wiles's proof sounded like the real thing and "has to be taken very seriously."”

Efectivamente, como dice Amir D. Aczel en su libro ya aquí conocido, El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático, “había llegado el momento de que los colegas revisaran su trabajo. (…) El escrito de doscientas páginas de Wiles se envió a destacados especialistas en teoría de números. (…) Uno de los expertos elegidos (…) era su amigo de Princeton Nick Katz, quien dedicó dos meses enteros, julio y agosto de 1993, exclusivamente a estudiar la prueba completa. Cada día se sentaba a su escritorio y leía con cuidado cada renglón, cada símbolo matemático, cada consecuencia lógica, para asegurarse de que todo tenía perfecto sentido y de que sería aceptable por cualquier matemático que la leyera. Una o dos veces al día Katz enviaba un mensaje de correo electrónico a Andrew Wiles, (...) en el que le preguntaba: «¿Qué quieres decir con (…)?» o «No entiendo por qué (…)», etc. Wiles le contestaba por correo electrónico y, si el problema requería más detalles, enviaba su respuesta por fax.”

Y llegó el momento fatídico: “Un día, cuando Katz había leído unas dos terceras partes del extenso manuscrito de Wiles, se topó con un problema. En un principio parecía bastante inocente”, pero la réplica de Katz a la contestación de Wiles no lo era: “«Sigo sin entenderlo, Andrew»”. Y sí, la verdad se hizo patente, tanto para Katz como para muchos matemáticos sensiblemente a la vez: había un error.

“Sencillamente no había ningún Sistema de Euler en la demostración”. Y sin él, no se sostenía el conjunto de implicaciones, deducciones y consecuencias, la principal de ellas: “Sin esta demostración tampoco se establecía la del último teorema de Fermat. En resumen, el agujero en el sistema de Euler hizo que todo se derrumbase como un castillo de naipes.”

Un año más tarde, el 19 de septiembre de 1994, Andrew Wiles se sentó a la mesa de su despacho con la decisión de tirar la toalla, aunque antes quiso saber por qué había fallado. “Concentró toda su atención durante unos veinte minutos. Entonces descubrió exactamente por qué no había sido capaz de lograr que el sistema funcionase. Por fin entendió qué era lo que iba mal.” Y entonces, las matemáticas se hicieron humanas:
“En ese momento los ojos se le llenaron de lágrimas y Wiles, emocionado, se quedó sin respiración. Lo que había descubierto en ese decisivo instante era «tan indescriptiblemente hermoso, tan sencillo y elegante… que me quedé boquiabierto, incapaz de creerlo»”. “Debía de estar soñando, pensó”. “El descubrimiento era tan potente, tan bello que tenía que ser cierto”. “Wiles dio varias vueltas al departamento durante unas horas. No sabía si estaba despierto o soñaba. De vez en cuando regresaba a su escritorio para cerciorarse de que su fantástico descubrimiento seguía allí. Y allí seguía. Se marchó a casa. Tenía que consultarlo con la almohada”.

Finalmente, “el número de la revista de mayo de 1995 contenía el original del artículo de Wiles de Cambridge y la corrección por Taylor y Wiles. Por fin el último teorema de Fermat conocería la paz.”

Conseguido el éxito matemático, queda el espíritu romántico, y rebelde: ¿Tuvo efectivamente Fermat una demostración de su teorema? Es obvio que doscientas páginas no caben en un margen, pero la demostración de Wiles, como dijo éste, era “una demostración del siglo XX”, no del XVII. ¿O sí? “He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa”, escribió en el margen. Wiles encontró la demostración, ¿y la maravilla? ¿Se la guardó para siempre Fermat?

En cualquier caso, la maravilla de las matemáticas sí la encontró, como sabemos, una asistenta japonesa:

“El periódico del 24 de junio de 1993 publicó un artículo que decía que el Último Teorema de Fermat había sido demostrado por Andrew Wiles, nacido en Gran Bretaña, catedrático de la Universidad de Princeton. En portada, la foto de Wiles, vestido con un jersey informal y un pelo rizado con entradas y un grabado representando a Pierre de Fermat, vestido con una indumentaria propia del siglo XVII. Ambas figuras, tan dispares hasta parecer cómicas, daban fe del largo tiempo transcurrido para resolver este último teorema. El artículo alababa la proeza diciendo que el hecho de que el enigma clásico de las matemáticas hubiera sido por fin resuelto significaba la victoria de la inteligencia humana y un nuevo paso adelante en la historia de las matemáticas. También mencionaba, aunque incidentalmente, que el núcleo de la demostración de Wiles procedía del teorema de Taniyama-Shimura, establecido por dos matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama y Goro Shimura.
Después de leer el artículo, saqué el recorte que llevaba en la cartera del pase de transportes públicos, como solía hacer cuando recordaba al profesor. Era la fórmula de Euler que él había anotado a mano.

Siempre estará allí. Sin cambiar sus trazos, elogio de la tranquilidad, en un lugar en que puedo tocarla con sólo largar la mano.” (pp. 279-280)

Este 17 de agosto se cumplen 408 años del nacimiento de Pierre de Fermat. Cifra que entre sus divisores cuenta con el 17 y el 8: ¿casualidad? ¿coincidencia? ¿matemáticas? ¿causalidad, incluso?

Cuando dando cero, se da todo

A mediados de enero compré La fórmula preferida del profesor, alentado por una reseña que Urku de Azumendi había hecho en su blog El olor de los libros. Hace un tiempo anuncié que la iba a leer, y finalmente, esta semana me he puesto a ello y anteanoche terminé de leer esta novela escrita en 2003 por Yoko Ogawa, japonesa nacida en 1962 en Okayama, según traducción de Yoshiko Sugiyama y Héctor Jiménez Ferrer, publicada por Editorial Funambulista en su colección Literadura.

«Como en broma, que así se dicen las cosas muy serias, los matemáticos suelen hablar de El Libro, en el que Dios tiene escritos los teoremas más relevantes, con puebas perfectas, y del cual los humanos, en los momentos más inspirados, pueden atisbar, escribiendo con sus descubrimientos, modestas aproximaciones al texto ideal que expresa el lenguaje en que se cifra la realidad. En Él no hay sitio para la fealdad.
Tampoco lo hay en este relato de Yoko Ogawa, tersa narración de la sólo en apariencia inverosímil epifanía, en la que la modesta asistenta y su hijo Root, de cabeza plana, son agitados por el desvalido Profesor, Quirón, inmovilizado, que con sus flechas señala y a ratos consigue que “la luz atraviese el cielo, sin que lo impida la lluvia ni la oscuridad”.»

De esta manera, León González Sotos, profesor de la Universidad de Alcalá comienza su postfacio a la novela, al que titula Platón y Ramanujan en la cabaña de un ocioso.

Tres son los personajes principales (prácticamente los únicos) de la novela: una madre soltera que trabaja como asistenta; un profesor de matemáticas, ya anciano, y que por un accidente, su memoria inmediata sólo cubre los últimos 80 minutos; y un niño de diez años, hijo de la asistenta.

De todos, desconocemos sus nombres: ella es la narradora, o sea que no lo necesita; el profesor es ‘el profesor’ (“Mi hijo y yo le llamábamos profesor” es la frase con que se inicia la novela); y nos referiremos al niño por el apodo que le puso el profesor al conocerlo: “Tú eres «Root». La raíz cuadrada, es un signo realmente generoso que puede dar refugio dentro de sí a cualquier número sin decir nunca que no a ninguno.” (pág. 50)

Curiosamente, lo único que conocemos por su nombre (aparte de un jugador de béisbol), son fórmulas y teoremas matemáticos.

“Y mientras lo decía, [el profesor] sacó un papel de apuntes del bolsillo, garabateó algo en él, lo puso en el centro de la mesa y se marchó de la habitación Fue un gesto resuelto, como preparado con antelación. No había en él ni ira ni confusión, sólo un silencio envolvente.
Nosotros tres, callados y abandonados por el profesor, clavamos los ojos en el papel de apuntes. Permanecimos así durante un rato, sin movernos. Allí había escrita, en sólo una línea, una fórmula.
Nadie decía nada. La viuda había dejado de hacer ruido con las uñas. Entendí que poco a poco iban desapareciendo de sus pupilas la turbación, la frialdad y la duda. Pensé que tenía la mirada de alguien que entiende perfectamente la belleza de una fórmula matemática.” (pp.195-196)

“No se me escapó aquella línea, que apareció en un rincón de mi campo de visión mientras pasaba páginas sin rumbo fijo. Miré la nota y el libro para compararlos cuidadosamente. No cabía duda. Se llamaba fórmula de Euler.” (pág. 204)

En la contraportada se dice, destacado en negrita: “Una novela optimista que genera fe en el alma humana, contada con la belleza sencilla y verdadera de un «larguísimo» haikú”

“Volví a mirar la nota del profesor. Unos números que circularían periódicamente hasta el final y otros números extraviados que nunca mostrarían su verdadera naturaleza, aterrizaban en un punto tras haber dado una voltereta. No aparecía ningún círculo en ningún lugar, y sin embargo π caía volando desde el cielo, inesperado, a los pies de «e», y estrechaba la mano del tímido «i». Se apretujaban unos con otros y contenían la respiración, pero bastaba con que un hombre añadiera sólo un 1 para elque el mundo cambiase totalmente, sin previo aviso. El 0 era la madre del cordero.
La fórmula de Euler era como una estrella fugaz centelleando en la oscuridad. Era un verso grabado en una cueva tenebrosa. Impresionada por toda la belleza que contenía la fórmula, la guardé en la funda del pase del transporte.
(…)
Desde entonces, (…) sigo llevando conmigo la nota del profesor, y no la he tirado. La fórmula de Euler ha sido siempre para mí un apoyo, una sentencia, un tesoro y un recuerdo al mismo tiempo” (pp. 207-209)

“Después de leer el artículo, saqué el recorte que llevaba en la cartera del pase de transportes públicos, como solía hacer cuando recordaba al profesor. Era la fórmula de Euler que él había anotado a mano.
Siempre estará allí. Sin cambiar sus trazos, elogio de la tranquilidad, en un lugar en que puedo tocarla con sólo largar la mano.” (pág. 280)

La frase de la reseña no sólo es cierta, sino que, como vemos (y aunque la fórmula la escribiera el profesor sobre un papel y no un niño sobre una pizarra), la frase, digo, es matemáticamente cierta.

Lo que da de sí un margen escaso

Hojeando diversos libros para decidir cuál es el siguiente en el turno de lectura, me encuentro, omisión hecha del error que contiene y que es fácilmente subsanable por el resto del texto, lo siguiente:

“De repente me topé con un libro sobre el último teorema de Fermat. Se trataba de un relato más bien histórico, que no de pura teoría matemática, lo cual facilitaba para mí su comprensión. Sabía que el último teorema de Fermat era un problema difícil que aún no había sido resuelto; sin embargo, fue una sorpresa para mí que el contenido del teorema pudiera expresarse tan fácilmente.
«Para todos los números naturales n superiores a 3 no existen números naturales X, Y, Z que verifiquen la ecuación: Xⁿ+ Yⁿ= Zⁿ»
¿Eh, eso es todo?, estuve a punto de exclamar. Me daba la sensación de que encontraría cuantos números naturales quisiera capaces de cumplir con aquella fórmula. Mientras que si «n» era igual a 2, y se convertía en la maravilla que es el teorema de Pitágoras, ¿cómo se entendía que con sólo ser una unidad mayor, pudiera destruirse el orden? Según pude saber, hojeando de pie el libro, aquella proposición no había nacido de una tesis notoria sino que procedía de un apunte apresurado de Fermat. Al parecer omitió la demostración por falta de espacio suficiente en la página. A partir de entonces, muchos genios de las matemáticas intentaron dar con aquella demostración, la gran meta del mundo matemático, pero fracasaron. Me dio pena por ellos que el capricho de un hombre les hubiera estado atormentando a lo largo de tres siglos.” (pp. 202-203)

Naturalmente, terminé la búsqueda y quedó resuelta la cuestión (la mía, digo).